*/ -->

Моделирование систем (Петров А.В.)

35__Модели и моделирование

Моделирование представляет собой метод исследования свойств определенного объекта посредством изучения свойств другого объекта, более удобного для решения задач исследования и находящего в определенном соответствии с первым объектом. В общетеоретическом смысле моделирование означает отображение или воспроизведение определенных сторон действительности для изучения интересующих исследователя объективных закономерностей. При решении практических задач в общем случае под моделированием понимается изучение моделируемого объекта (оригинала), базирующееся на взаимооднозначном соответствии определенной части свойств оригинала и замещающего его при исследовании объекта (модели и включающее в себя построение модели, изучение ее и перенос полученных сведений на моделируемый объект-оригинал. Под оригиналом понимается объект, определенные свойства (аспекты) которого подлежат изучению методом моделирования.

Под моделью обычно понимается вспомогательный объект, находящийся в определенном соответствии с изучаемым объектом-оригиналом и более удобный для решения задач конкретного исследования. Отражая отдельные особенности поведения объекта-оригинала, модель имеет некоторые идентичные черты с оригиналом и служит для получения такой информации о нем, которую затруднительно или невозможно получить путем непосредственного исследования оригинала. Функции модели может выполнять не только специально созданная экспериментальная установка, но и наблюдаемое явление (совокупность процессов, сопутствующих работе системы и проявляющихся в виде изменений состояний системы), и символическое (знаковое) описание оригинала (текстовое описание, математическое уравнение, чертеж, схема и т.п.), и мысленный образ и т.д. Надо отметить, что модель всегда находится в определенном соотношении с конкретным изучаемым объектом, явлением, процессом; нельзя называть моделью экспериментальную установку или математическое выражение, для которых отсутствует адекватная (реальная или потенциальная) физическая реализация.

Модель – объект, подобный исследуемой системе в интересующих нас свойствах – остальные отсекаются.

Моделирование - процесс построения и использования модели. Цель моделирования – определение свойств.

Классификация/виды моделей:

1. Логические модели – это такие модели, которые созданы разумом в голове человека, основанные на разного рода умозаключениях, выводах и т.д. (например, философия, психология, социология и .д.р. ). В логических моделях нет числовых параметров. “-” не доказуемы из-за разности начальных условий.

2. Физические модели – это модели, физически подобные реальной системе. Например, любая игрушка или пластилиновая модель автомобиля, являются физическими моделями.

При физическом моделировании модель воспроизводит изучаемую систему с сохранением ее физической природы. Преимущество физического моделирования перед натурным экспериментом заключается в том, что условия реализации системы-модели могут значительно отличаться от условий, свойственных системе-оригиналу и выбираются, исходя из удобства и простоты исследования. Однако физическое моделирование имеет ограниченную сферу применения. Более широкими возможностями обладает математическое моделирование.

3. Математические модели – модели, представляющие собой формализованные математические описания, составленные по математическим канонам с использованием математических доказательств. Например, модель колебаний маятника в физике.

Если создана математическая модели, или формализованное математическое описание, то она будет работать всегда, в отличие от физической, которую всегда можно разрушить. Но существуют такие объекты, которые невозможно описать математической моделью (например, дифференциальные уравнения, теория вероятности). Математическая модель, описывающая формализованный процесс функционирования системы, в состоянии охватить только основные, характерные его закономерности, оставляя в стороне несущественные второстепенные факторы.

4. Имитационные модели – численные эксперименты с математическими моделями элементов сложной системы, объединенных информационными связующей информационной моделью. Для любой системы, например тренажёры, системы в аварийном или другом критическом состоянии.

Имитационное моделирование - подражание функционированию нормальной работы системы.

“-” – численный эксперимент, дающий частный результат, зависящий от ИД.

Имитационное моделирование – хороший способ обучения, возможность проведения таких экспериментов, которые нежелательны для проведения в жизни (какие-либо аварийные ситуации), уникальный метод. Недостатком данного способа является относительно высокая стоимость проведения исследований.

Другая классификация: основывается на концепции взаимосвязи понятий моделирования и подобия, в соответствии с которой модель и оригинал находятся между собой в отношении подобия (подобны друг другу).

Первоначально все виды моделирования разделяются по признаку учета и воспроизведения на модели паарметров оригинала и процессов в нем: полное, неполное, приближенное. Далее все указанные виды моделирования дифференцируются на мысленное (мысленное идеально-теоретическое, мысленное аналитическое (использованние аппаратуры для подтверждения отвлеченных представлений, например, расчеты на ЭВМ, аналоги, иллюстрирующие мысленно созданные положения)) и материальное. Мысленное аналитическое моделирование является промежуточным между мысленным идеально-теоретическим моделированием и материальным моделированием.

Как мысленное, так и материальное моделирование могут быть либо детерминированным (отражает детерминированные процессы), либо стохастическим (отражает вероятностные события). Все указанные выше виды моделирования могут одновременно быть обобщенными (отражение явлений оригинала с той или иной условностью).

Дальнейшая классификация видов моделирования основывается на детализации способов материальной реализации моделей. Например, мысленное моделирование может быть:

• Наглядное (напр., планетарные модели атомов или молекул, макеты зданий, на основе которых проводится строительство);

• Символическое или знаковое (напр., географические карты, химические формулы на бумаге);

• Математическое мысленное (напр., алгоритмы и программы, структурные схемы, экономические модели).

Материальное моделирование может быть:

• Натурное (напр., производственный эксперимент);

• Физическое (исследования проводятся на установках, обладающих физическим подобием, т.е. сохраняющих хотя бы в основном природу явлений);

• Математическое материальное основывается на способности уравнений описывать различные по своей природе явления и выявлять различные функциональные связи.

Рассмотренная классификация условна.

36__Математическое моделирование

Математическое моделирование – это способ исследования различных процессов путем изучения явлений, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями. В простейших случаях для этой цели используются известные аналогии между механическими, электрическими, тепловыми и другими явлениями. Примером такой аналогии могут служить гармонические колебания маятника. При изучении любого процесса методом математического моделирования необходимо, в первую очередь, построить его математическое описание или математическую модель. Математическая модель позволяет для данного процесса-оригинала подобрать на основании известных аналогий удобные физические процессы-модели, а также установить соотношение подобия, связывающее их параметры, без которых трудно использовать результаты моделирования для изучения процесса-оригинала.

Математические модели как один из методов моделирования является наиболее мощным инструментом исследования сложных систем различной природы. Опираясь на достижения современной математики, он обеспечивает решение многих практических задач. Доставляя исследователю теоретически подтвержденные и обоснованные решения, обладая мощнейшим аппаратом решения задач, математическое моделирование, вместе с тем, имеет и определенные недостатки. Связаны они ни сколько с объективными причинами, а скорее с постоянно продолжающимся процессом постановки новых, все более сложных задач, что, в свою очередь, заставляет непрерывно развиваться и как таковую математику. И, конечно, сама математика, находясь в непрерывном развитии, не только предлагает практикам все новые и новые методики и методы исследования, но и открывает возможности изучения все более и более сложных объектов.

С точки зрения моделирования систем, математическое моделирование, к сожалению, не позволяет пока исследовать сложные, в основном, организационные системы. Связано это с тем, что названные системы настолько разнообразны и разнородны по возможностям математического описания их элементов, что возникает задача объединения различных математических аппаратов. В настоящее время данная задача решается посредством имитационного моделирования. А это численный эксперимент, дающий частные результаты.

Под математическим моделированием понимают способ исследования различных процессов путем изучения явлений, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель (ММ), как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Математическое моделирование можно разделить на аналитическое, имитационное, комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: 1) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; 2) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; 3) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (напр., оценить устойчивость решения).

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Основным преимуществом имитационного моделирования перед аналитическим является возможность решения более сложных задач.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на состовляющие подпроцессы, и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. Такой комбинированный подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только аналитического и имитационного моделирования в отдельности.

Задачи математического моделирования.

1) Задача детерминированного управления

? – устройство управления посылает объекту U(t)

U(t) – управляющий сигнал

X(t) – выход объекта

M – измеритель

Z(t) – измеренный выход

Дано:

1) динамическое соотношение, описывающее объект (связь входа с выходом), т.е. задана некоторая функция, связывающая X(t) и U(t). Известно как работает объект.

2) динамическое соотношение, описывающее измеритель (Z(t), X(t)).

Найти: такое управление U(t), чтобы выход объекта или измерительный выход стремились к желаемому.

X(t) ® X*

Z(t) ® Z*

Должен устанавливаться критерий близости - критерий оценки достижения желаемых параметров (среднеквадратичный критерий).

Существует два класса решения задачи детерминированного управления:

1. аналитические методы (общий подход)

2. численные методы (частный подход)

Аналитический метод основывается на уже существующей методике решения задачи (например, нахождение экстремума функции).

Пример:

пусть объект характеризуется , а измеритель .

Найти U при Z*=1.

Критерий: min{ }

Берём производную и приравниваем к нулю:

Далее находим вторую производную и определяем, где минимум функции.

Численные методы применяют, когда аналитические методы не работают(не решаемо дифференциальными уравнениями).

Принцип численного метода:

Заданы начальные условия X₀. (с чего начать?)

Известен порядок изменения начальных условий с некоторым шагом h. (как действовать?) – делаем шаг, делим шаг.

Известны правила остановки. (когда остановиться?)

Например, метод половинного деления.

Задача оценки

w(t), n(t) – помехи, действующие на объект и измеритель.

Дано:

Статистическое описание шумов

Динамическое соотношение w(t) и X(t), описывающее объект

Динамическое соотношение X(t), n(t) и Z(t), описывающее измеритель

Зафиксированные измерения Z до некоторого времени T

Z(t), t £ T

(??)Оценить выходной сигнал объекта X некоторым наилучшим образом X* (t/T).

Найти: выходной сигнал x(t), очищенный от помех.

Задача оценки делится на 3 подзадачи.

1. Фильтрация - найти состояние сигнала в момент времени T.

2. Экстраполяция - по зафиксированным измерениям найти состояние объекта в будущие моменты времени.

3. Интерполяция – восстанавливаем значение сигнала в предыдущие моменты времени.

Критерий: средняя квадратичная ошибка – квадрат ошибки между текущим значением и желаемым должен быть минимальным.

Применяется метод Колмогорова (метод линейной экстраполяции) – предполагается, что имеется случайный процесс, являющийся стационарным в широком смысле с математическим ожиданием M[X]=0 и имеется некоторая автокорреляционная функция R(t), отличная от 0. Прогнозное значение вычисляется как полином.

- линейная экстраполяция

j- ошибка;

t-j – предыдущие значения;

m – длина предыстории; чем больше m, тем больше точность.

Необходимо найти a_j.

Коэффициенты a_j определяются из решения системы линейных уравнений

(???)

r – коэффициент корреляции.

Ошибка прогнозирования . Если коэффициенты находятся так, то ошибка минимальна.

Задача экстраполяции – в будущем, задача интерполяции отличается от нее на знак:

(???)

Задача фильтрации. Фильтр Винера – некая математическая схема, которая обеспечивает нахождение параметров фильтра, отделяющего шум от полезного сигнала. Фильтр Винера – физически реализуемая схема:

Дано: 1) задана совокупность сигналов и шумов как стационарно случайный процесс с известными характеристиками. 2) критерий оценки расхождения выхода фильтра и модели. 3) желаемый выход.

Уравнение Винера: [интеграл (w₀(t)Ф_zz(t-t))dt]-Ф_zy(t)=0

Задача прогнозирования. Метод прогнозирования Колмогорова предполагает, что имеется случайный стационарный в широком смысле процесс с математическим ожиданием=0 и корреляционной функцией, отличной от нуля. Прогнозное значение: x(t/T)=Saj x(t ± j) (сумма от j=1 до m). «+» - задача интерполяции, «-» - задача экстраполяции. Здесь x(t-j) – предыдущее значение процесса, aj – коэффициенты (надо найти путем решения системы линейных уравнений), t1,t2,… – предыстория, m – длина предыстории.

Задача идентификации.

Дано: 1) статистическое описание шумов w(t)и v(t). 2) динамическое соотношение между z(t) и x(t),v(t). 3) зафиксированные входной и выходной сигналы z(t/T) и u(t/T).

Найти: наилучшее в некотором смысле динамическое соотношение, описывающее объект – x(t) и u(t),w(t).

Найти: наилучшее в некотором смысле динамическое соотношение, описывающее соотношение помех w(t),v(t).

Решения:

1. Аналитическое – теория идентификации использует Гаусовские идентификационные помехи.

2. Регрессионный анализ (в основном)

Линия =

По виду облака “точек” можно судить о том, какая это зависимость.

Проводим так, чтобы сумма была минимальной.

Критерий: - система нормальных уравнений.

При нелинейной регрессии проводят линеаризацию(сведение функции с линейному виду), либо решается как задача регрессионного анализа, если нелинейная функция является полиномом.

Задача адаптивного управления

Дано:

Статистическое описание шумов w(t),v(t);

Динамическое соотношение, описывающее измеритель z(t) и x(t), v(t);

Измерения z(t/T) и u(t/T).

Найти: такое управление u(t) и такое соотношение, описывающее объект x(t) и u(t), чтобы выход объекта или измеренный выход стремились к желаемому.

В задаче существует 3 понятия: обучение, самообучение, адаптация (самообучение с изменением структуры).

Обучение – имеется ученик и учитель, учитель – контролирующая система.

Самообучение – и ученик, и учитель в одном лице

Адаптация – самообучение с изменением структуры (таких систем практически нет – они теоретически сложны).

Пусть наш объект управляется n параметрами.

[C₁, С₂,…,С_{nПродолжение »}