*/ -->

Основы теории управления (Ружников Г.М.)

85__Передаточные функции последовательного и параллельного соединения звеньев.

Сложные элементы автоматических систем и сами автоматические системы состоят из некоторого числа соединенных между собой динамических звеньев. Наиболее простыми и часто встречающимися соединениями являются последовательное (рис. 1,а), параллельное (1,б) и соединение, называемое встречно-параллельным или - охват звена обратной связью (рис. 1,в)

Рис.1.Типовые соединения динамических звеньев: а) последовательное; б) параллельное; в) звено , охваченное обратной связью посредством звена

При последовательном соединении выходная величина каждого из звеньев, кроме последнего, служит входной величиной последующего звена. Эквивалентная передаточная функция последовательного соединения в общем случае определяется по формуле

При параллельном соединении все звенья имеют одну и ту же входную величину, а их выходные величины суммируются. Передаточная функция параллельного соединения n звеньев равна

Хвх y1 y2

Y1

Xвх Y2 Y

Y3

86__Передаточная функция замкнутой системы.

Сложные элементы автоматических систем и сами автоматические системы состоят из некоторого числа соединенных между собой динамических звеньев. Наиболее простыми и часто встречающимися соединениями являются последовательное (рис. 1,а), параллельное (1,б) и соединение, называемое встречно-параллельным или - охват звена обратной связью (рис. 1,в)

Рис.1.Типовые соединения динамических звеньев: а) последовательное; б) параллельное; в) звено , охваченное обратной связью посредством звена

При последовательном соединении выходная величина каждого из звеньев, кроме последнего, служит входной величиной последующего звена. Эквивалентная передаточная функция последовательного соединения в общем случае определяется по формуле

При параллельном соединении все звенья имеют одну и ту же входную величину, а их выходные величины суммируются. Передаточная функция параллельного соединения n звеньев равна

Соединение звеньев, представленное на рис. 1,в приводит к образованию замкнутой системы и состоит из двух звеньев. Звено с передаточной функцией является прямой цепью передачи сигналов, а звено с передаточной функцией осуществляет обратную связь. Обратная связь это воздействие выходной величины какого-то звена на его вход. Если это воздействие совпадает по знаку с входной величиной, то обратная связь - положительная. В противном случае обратная связь - отрицательная.

Передаточная функция замкнутой автоматической системы

где знак "+" в знаменателе соответствует отрицательной обратной связи и знак "-" - положительной.

На практике наиболее употребительны жесткая и гибкая (дифференциальная) обратные связи.

Обратные связи изменяют свойства типовых динамических звеньев. Проиллюстрируем это на примере интегрирующего звена с передаточной функцией

при охвате его жесткой отрицательной обратной связью .

Передаточная функция замкнутой системы равна

Полученное выражение приведем к виду, принятому в теории автоматического управления, для чего разделим числитель и знаменатель на Тем самым

где

Сравнивая передаточные функции и видим, что характер после охвата его отрицательной обратной связью изменился, так как передаточная функция представляет собой инерционное звено первого порядка.

При жесткой положительной обратной связи имеем

Звено с такой передаточной функцией представляет собой неустойчивое апериодическое звено первого порядка, т.е. и в этом случае характер звена изменился.

Отметим, что выводы об изменении характера исходного звена справедливы при

87__Устойчивость линейных систем (вывод).

Устойчивость (в широком смысле) - это свойство системы возвращаться в некоторый или близкий к нему установившийся режим из начальных состояний.

Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения как сумма двух решений - частного решения неоднородного уравнения с правой частью и общего решения уравнения без правой части, т.е. с правой частью равной нулю

y_част

В случае y_част, это будет установившееся значение. Первое слагаемое (4) называют также вынужденным решением , а второе слагаемое - переходной составляющей . Тогда выражение (4) может быть записано в виде

Система будет называться устойчивой, если с течением времени при переходная составляющая будет стремиться к нулю: Найдем эту составляющую, решив дифференциальное уравнение без правой части

Этому дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение

Так как в решении характеристического уравнения содержится n корней, то переходная составляющая может быть записана в виде

где корни характеристического уравнения; постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Корни характеристического уравнения определяются только видом левой части дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования определяются также и видом правой его части. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного дифференциального уравнения. Однако поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса). то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части исходного дифференциального уравнения и определяется только характеристическим уравнением (6), а конкретно его корнями. Для затухания процесса необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходиться, т.е. система окажется неустойчивой.

Можно показать, что необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это значит, что при положительности всех коэффициентов система может быть устойчивой, но не исключена возможность неустойчивости системы. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется.

Необходимое условие устойчивости становится достаточным только для уравнений первого и второго порядков. В этом случае система будет устойчивой при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, в чем можно убедиться прямым нахождением корней характеристического уравнения.

Покажем на примере влияние обратной связи на устойчивость. Пусть имеем звено с передаточной функцией

Решив характеристическое уравнение найдем его корни т.е. это звено является устойчивым.

Охватив его жесткой отрицательной связью с коэффициентом обратной связи Имеем

где

Характеристическое уравнение имеет вид и его корень т.е. при охвате инерционного звена жесткой отрицательной обратной связью его устойчивость не нарушится.

Иное дело при охвате инерционного звена жесткой положительной обратной связью. Имеем

где причем в зависимости от значения величина может быть или меньше нуля, или больше нуля, т.е. корень характеристического уравнения при будет и система устойчива; при корень равен и система неустойчива.

Если же , то имеем , т.е. изменился характер переходного процесса, т.к. это интегрирующее звено с корнем характеристического уравнения и тем самым система находится на границе устойчивости. Охватим это же инерционное звено гибкой отрицательной связью Имеем

где

Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид и его корень равен т.е. при охвате инерционного звена гибкой отрицательной обратной связью устойчивость его не нарушится.

Охватим инерционное звено гибкой положительной обратной связью. Имеем

где причем в зависимости от значения величина может быть или меньше, или больше нуля, т.е. корень характеристического уравнения при будет равен и тем самым система устойчива; при корень равен и система неустойчива.

Если же то имеем то изменился характер переходного процесса, т.к. это усилительное безынерционное звено.

88__Критерий устойчивости Михайлова (вывод - случай вещественных корней).

Критерий Михайлова: для того, чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь на положительной части вещественной оси, при изменении w от 0 до +¥ последовательно в положительном направлении проходил n квадрантов, где n – степень характеристического уравнения системы.

Характер системы определяется левой частью(характеристический полином):

(1) Заменим p=jw, где w – угловая частота колебаний, соответствующих чисто мнимому корню другого характеристического полинома:

Критерий 1: Характеристический полином (1) не будет иметь корней в правой полуплоскости(т.е. положит. веществ. или комплексных с положит. веществ. частью), т.е. система будет устойчива, если полное приращение фазы при изменении w от 0 до ∞ равно , где n – показатель степени полинома. Кривая Михайлова – годограф, который описывает вектор с данными координатами.

Рассмотрим зависимость между критерием Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения при изменении w = [0, ∞)

,

где каждая скобка – комплексное число, а при умножении комплексных чисел аргументы складываются. Результирующий угол:

1) Рассмотрим случай, когда корень p₁ является веществ. и отрицательным: . Тогда этому корню соответствует сомножитель . При w = 0 вещ. часть , а . При увеличении w: , Y – увеличивается, угол поворота .

2) p – положительный, ,

3)

При w = 0 начальное положение 2-х векторов определяется точ. A₁ и A₂. 1-й вектор повернут относительно вещ. оси на , а 2-й вектор повернут на угол против часовой стрелки. Результирующий угол поворота 1-го вектора равен , 2-го . Тогда произведение скобок равно:

4)

Если характеристическое уравнение имеет l корней с положит. вещ. частью, то каковы бы ни были корни (вещ. или компл.), им соответствует сумма углов поворота, равная .

Остальные (n – l) корней, имеющих отрицат. вещ. части, будут иметь результирующий угол поворота:

Критерий 1: Для линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор D(jw) , описывающий кривую Михайлова при w = [0, ∞) имел угол поворота . Для устойчивых систем кривая Михайлов имеет плавную спиралевидную форму, причем она уходит в ∞ в квадранте k плоскости, номер которого равен степени характеристического полинома. Для неустойчивых систем характерно нарушение последовательности прохождения квадрантов, вследствие чего угол оказывается меньше, чем .

Критерий 2: Для устойчивости системы n-го порядка кривая Михайлова проходит последовательно n квадрантов, из этого следует, что корни уравнений X(w) и Y(w) должны чередоваться.

89__Частотная передаточная функция и частотные характеристики (определения, формы записи, графики).

Важнейшей характеристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной функции, заменив линейный оператор p на комплексный jw.

Так как передаточная функция есть отношение изображения выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование

W(j)=.

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

W(jw)=U(w)+jV(w)

где U(w) и V(w) - вещественная и мнимая части.

W(jw)=A(w),

где A(w) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходной величины к амплитуде входной,j(w) - аргумент частотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.

Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:

A(w)=½W(jw)½

АЧХ строят для всего диапазона частот -¥<w<+¥, т.к. модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты.

Продолжение »